Παρουσίαση/Προβολή

(SAE268) -  ΙΩΑΝΝΗΣ ΛΙΒΙΕΡΗΣ

Περιγραφή Μαθήματος

Το μάθημα Εφαρμοσμένη Άλγεβρα επικεντρώνεται στη διερεύνηση προηγμένων αλγεβρικών εννοιών με έμφαση στην εφαρμογή τους σε υπολογιστικά και θεωρητικά προβλήματα. Η ύλη καλύπτει τις ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, τετραγωνικές μορφές, γραμμικούς μετασχηματισμούς, μεθόδους ανάλυσης πινάκων και διάφορες τεχνικές διαγωνιοποίησης και ορθογωνιοποίησης, δίνοντας στους φοιτητές τα απαραίτητα εργαλεία για την ανάλυση και τη λύση πολύπλοκων μαθηματικών προβλημάτων.

Με την ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα είναι σε θέση:

• Να κατανοούν και να υπολογίζουν τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα πινάκων, καθώς και τη σχέση τους με το ίχνος και την ορίζουσα. Θα αναλύουν ιδιοτιμές αντιστρόφων, δυνάμεων και συμμετρικών πινάκων, καθώς και τη φασματική ανάλυση τους.
• Να κατανοούν τις τετραγωνικές μορφές και να αναλύουν πίνακες με βάση τη θετικότητα (θετικά ορισμένοι, θετικά ημι-ορισμένοι, αρνητικά ορισμένοι). Θα κατανοούν την έννοια της θετικά ορισμένης τετραγωνικής μορφής και τη μαθηματική και φυσική της ερμηνεία, καθώς και τεχνικές όπως η τετραγωνική ρίζα θετικά ορισμένων πινάκων και η μεγιστοποίηση τους.
• Να μελετούν και να εφαρμόζουν γραμμικούς μετασχηματισμούς, καθώς και τις έννοιες της εικόνας και του πυρήνα.
• Να προβάλλουν διανύσματα σε υποχώρους του RnR^nRn χρησιμοποιώντας πίνακες προβολής και να κατανοούν τη σημασία των ορθογωνίων υποχώρων.
• Να χρησιμοποιούν αναλύσεις όπως η QR ανάλυση και LU ανάλυση για τη διάσπαση πινάκων.
• Να εφαρμόζουν την ορθογωνιοποίηση βάσης διανυσματικών χώρων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gram-Schmidt.
• Να εκτελούν διαγωνιοποίηση πινάκων και να κατανοούν την κανονική μορφή Jordan, καθώς και την ανάλυση ιδιαζουσών τιμών (SVD), με εφαρμογές στην επίλυση προβλημάτων και την επεξεργασία δεδομένων.
• Να χρησιμοποιούν τον γενικευμένο αντίστροφο πίνακα και τον ψευδοαντίστροφο Moore-Penrose για την αντιμετώπιση υπολογιστικά δύσκολων προβλημάτων.

Το μάθημα παρέχει ουσιαστικά εργαλεία και μεθοδολογίες για την ανάλυση πινάκων και μετασχηματισμών, με εφαρμογές στη μηχανική, τη στατιστική, την ανάλυση δεδομένων και άλλους τομείς.

Ημερομηνία δημιουργίας

Τετάρτη 24 Ιουλίου 2024